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<title>Stringtheorie</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Stringtheorie</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Als Stringtheorie bezeichnet man eine Sammlung eng verwandter <a href="Hypothese" title="Hypothese">hypothetischer</a> physikalischer Modelle, die anstelle der Beschreibung von <a href="Elementarteilchen" title="Elementarteilchen">Elementarteilchen</a> in den gewohnten Modellen der <a href="Quantenfeldtheorie" title="Quantenfeldtheorie">Quantenfeldtheorie</a> als punktförmige Teilchen (räumliche Dimension Null) in der Raumzeit sogenannte Strings (<a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> für Fäden oder <a href="Saite" title="Saite">Saiten</a>) als fundamentale Objekte mit <a href="1D" title="1D">eindimensionaler</a> räumlicher Ausdehnung verwenden. In Erweiterungen der Stringtheorie werden auch höherdimensionale Objekte betrachtet. Stringtheorien wurden in den 1960er Jahren zur Beschreibung der <a href="Starke_Wechselwirkung" title="Starke Wechselwirkung">starken Wechselwirkung</a> (<a href="Quantenchromodynamik" title="Quantenchromodynamik">Quantenchromodynamik</a>) eingeführt.

Seit den 1980er Jahren erlebte die Stringtheorie einen starken Aufschwung. Sie gilt seitdem als Kandidat für eine alle Naturkräfte vereinheitlichende Theorie, die das <a href="Standardmodell" title="Standardmodell">Standardmodell</a> der Elementarteilchenphysik und die <a href="Gravitation" title="Gravitation">Gravitation</a> miteinander verbindet. Diskutiert wird dabei vor allem die <a href="Supersymmetrie" title="Supersymmetrie">supersymmetrische</a> Version der Stringtheorie („Superstringtheorie“). Die Supersymmetrie sagt neue, supersymmetrische Partnerteilchen für alle <a href="Boson" title="Boson">Bosonen</a> und <a href="Fermion" title="Fermion">Fermionen</a> voraus. Zum Aufschwung der Superstringtheorie trug erheblich bei, dass sie konkrete Vorhersagen für die Symmetriegruppen einer <a href="Gro%C3%9Fe_Vereinheitlichte_Theorie" class="mw-redirect" title="Große Vereinheitlichte Theorie">Großen Vereinheitlichten Theorie</a> (GUT) machte. Des Weiteren fanden Vorhersagen zur Betrachtung von Quantenfeldtheorien (wie das <a href="Holografisches_Prinzip" title="Holografisches Prinzip">holografische Prinzip</a> in <a href="Anti-de-Sitter-Raum" title="Anti-de-Sitter-Raum">AdS</a>/<a href="Konforme_Feldtheorie" title="Konforme Feldtheorie">CFT</a>) große Beachtung.<a href="#cite_note-:0-1">[1]</a> In den 1990er Jahren stellte sich heraus, dass die bis dahin bekannten Superstringtheorien und die 11-dimensionale <a href="Supergravitation" title="Supergravitation">Supergravitation</a> miteinander verbunden als Teil einer umfassenderen Theorie („<a href="M-Theorie" title="M-Theorie">M-Theorie</a>“ genannt) betrachtet werden können. Letztere umfasst auch höherdimensionale Objekte (sogenannte „<a href="Brane" class="mw-redirect" title="Brane">Brane</a>“). Die Stringtheorie führte zu einem engen Austausch zwischen verschiedenen Gebieten der Mathematik und theoretischen Physik.<a href="#cite_note-:0-1">[1]</a><a href="#cite_note-2">[2]</a>

Die Stringtheorie ist gegenwärtig weder experimentell bestätigt noch widerlegt. Dies liegt unter anderem daran, dass die Vereinigung der Naturkräfte auf Energieskalen erwartet wird (siehe <a href="Planck-Skala" title="Planck-Skala">Planck-Skala</a>), die in absehbarer Zeit nicht erreichbar sind. Die Stringtheorie wird daher seit den 2000er Jahren sowohl innerhalb als auch außerhalb der Physik als nicht <a href="Falsifizierbar" class="mw-redirect" title="Falsifizierbar">falsifizierbar</a> kritisiert. Die Kritik richtet sich dabei auch auf die einseitige und außergewöhnliche Bindung von Forschungsressourcen in Gebieten, die Anwendungen fern stehen, und erfolgte besonders dezidiert von Theoretikern, die alternative Theorien der Quantengravitation verfolgen (wie die <a href="Schleifenquantengravitation" title="Schleifenquantengravitation">Schleifenquantengravitation</a>).<a href="#cite_note-Rovelli2013-3">[3]</a><a href="#cite_note-tHooft2013-4">[4]</a> Zudem tauchten bei der konkreten mathematischen Durcharbeitung der Stringtheorie unerwartet viele Varianten auf, die die Erfolgsaussichten, alle Naturkräfte über die Stringtheorie zu vereinheitlichen, in weite Ferne rücken.

Heute gilt die Stringtheorie zwar als „verlockend“ und „mathematisch sehr elegant“, da sie aber keine Vorhersagen macht, die aktuell experimentell bestätigt werden könnten, wird ihre praktische Bedeutung für die <a href="Teilchenphysik" title="Teilchenphysik">Teilchenphysik</a> in Abrede gestellt.<a href="#cite_note-5">[5]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Überblick">Überblick</h2></div>

Im Gegensatz zum <a href="Standardmodell_der_Teilchenphysik" class="mw-redirect" title="Standardmodell der Teilchenphysik">Standardmodell</a> der <a href="Teilchenphysik" title="Teilchenphysik">Teilchenphysik</a> sind bei der Stringtheorie die fundamentalen Bausteine, aus denen sich die Welt zusammensetzt, keine <a href="Teilchen" title="Teilchen">Teilchen</a> im Sinne von <a href="Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkten</a> (also nulldimensionalen Objekten), sondern <a href="Vibration" title="Vibration">vibrierende</a> <a href="Dimension_(Gr%C3%B6%C3%9Fensystem)" title="Dimension (Größensystem)">eindimensionale</a> Objekte. Diese eindimensionalen Objekte werden Strings genannt. Elementarteilchen kann man sich als Schwingungsanregung der Strings vorstellen, wobei die Frequenz nach der <a href="Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">Quantenmechanik</a> einer <a href="Energie" title="Energie">Energie</a> entspricht.

In Weiterentwicklungen der Stringtheorie, den sogenannten <a href="P-Brane" title="P-Brane">Brane</a>-Theorien, werden als Basisobjekte nicht nur eindimensionale (bzw. bei Einschluss der Zeit (1+1)-dimensionale) Strings angesehen, sondern auch höherdimensionale Objekte („<a href="Brane" class="mw-redirect" title="Brane">Brane</a>“ genannt)<a href="#cite_note-6">[6]</a> verwendet.

Durch Annahme dieser <a href="Dimension_(Gr%C3%B6%C3%9Fensystem)" title="Dimension (Größensystem)">eindimensionalen</a> Struktur der Strings treten automatisch viele erwünschte Eigenschaften einer eher fundamentalen Theorie der <a href="Physik" title="Physik">Physik</a> hervor. Am meisten sticht hervor, dass jede Stringtheorie, die mit der Quantenmechanik vereinbar ist, eine <a href="Quantengravitation" title="Quantengravitation">Quantengravitation</a> beinhalten muss.

In der Stringtheorie werden Probleme vermieden, die durch <a href="Grenzwert_(Folge)#Bestimmte_Divergenz" title="Grenzwert (Folge)">divergierende</a> <a href="Feynman-Diagramm#Schleifen" title="Feynman-Diagramm">Schleifenintegrale</a> und die zu ihrer Kompensation entwickelten <a href="Renormierung" title="Renormierung">Renormierungstheorien</a> entstehen. Divergenzen (unendliche Werte der Integrale) ergeben sich speziell für Punktteilchen aus ihrer Selbstwechselwirkung, die bei ausgedehnten, z. B. eindimensionalen, Objekten „verschmiert“ und damit abgemildert wird. Vereinfacht kann man sich das so vorstellen: Betrachtet man die für die Quantenmechanik grundlegende <a href="Heisenbergsche_Unsch%C3%A4rferelation" title="Heisenbergsche Unschärferelation">Heisenbergsche Unschärferelation</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta x\Delta p\;\sim \;\hbar }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta x\Delta p\;\sim \;\hbar }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51d62e7095dfa182c1da41dfc14b24975b84bbff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.066ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta x\Delta p\;\sim \;\hbar }" loading="lazy">, stellt man Folgendes fest: Wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd4ee20df4739428156289950dddfd3d4234f0c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.042ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}" loading="lazy">, dann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta p\to \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta p\to \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d10337601913c4ea2eae36049f89fd250ca047e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.043ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta p\to \infty }" loading="lazy">. Das bedeutet, dass bei einer verschwindenden Distanz ein unendlicher Impuls entstehen würde. In der Stringtheorie wird nun der Fall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta x\to 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta x\to 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe52bdad1526bf729093fbbb01b989111c99bbe8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.042ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta x\to 0}" loading="lazy"> vermieden und es existiert eine obere Grenze, der Impuls kann nur einen großen, aber endlichen Wert haben, auf diesem Weg werden die Divergenzen in der Theorie vermieden. Die Unschärferelation wird für Strings modifiziert zu

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta x={\frac {\hbar }{\Delta p}}+\alpha '{\frac {\Delta p}{\hbar }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5adc1014ea11ba938e32e4068a58421fb5f18e96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:19.26ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta x={\frac {\hbar }{\Delta p}}+\alpha '{\frac {\Delta p}{\hbar }}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha '={\frac {1}{2\pi T_{s}}}}">

<msup>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha '={\frac {1}{2\pi T_{s}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/08f25fa6900db158d5826b5f9c38c0c14dd03762.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:10.962ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha '={\frac {1}{2\pi T_{s}}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{s}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/942b5ac7697c72b9e3bc1e3b340daf7189fdf61f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.361ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{s}}" loading="lazy"> die Stringspannung beschreibt. Der neue Term <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha '{\tfrac {\Delta p}{\hbar }}}">

<msup>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha '{\tfrac {\Delta p}{\hbar }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a70e32e7e574c14a8829b71f62c78c416128dfec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:5.204ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha '{\tfrac {\Delta p}{\hbar }}}" loading="lazy"> wird hier benutzt, um eine minimale Distanz festzulegen. Diese minimale Distanz ist nun gegeben durch:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<msup>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{\mathrm {min} }\;\sim \;2{\sqrt {\alpha '}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/628a29057f0a7fb7d6db9c0c1249606551d57c88.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.349ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle x_{\mathrm {min} }\;\sim \;2{\sqrt {\alpha '}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Wenn nun <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha '\neq 0}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha '\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3cbf94b72af17c6936ab39fc77a6b8323a3e3276.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.433ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha '\neq 0}" loading="lazy"> gilt, tritt das Problem von Punktinteraktionen nicht auf, weil diese ausgeschlossen sind.

Die charakteristische Längenskala der Strings müsste in der Größenordnung der <a href="Planck-Skala" title="Planck-Skala">Plancklänge</a> liegen, der Größe, unter der Effekte der Quantengravitation wichtig werden:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell _{P}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}\cong 1{,}61624(12)\cdot 10^{-35}\,\mathrm {m} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/279927d22a0aa83bfd68739bc6492d03efec360b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:36.164ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \ell _{P}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}\cong 1{,}61624(12)\cdot 10^{-35}\,\mathrm {m} }" loading="lazy"></dd></dl>

Auf viel größeren Längenskalen, wie sie heute in <a href="Laboratorium" class="mw-redirect" title="Laboratorium">Laboratorien</a> zugänglich sind, wären diese Objekte nicht von nulldimensionalen punktförmigen Partikeln zu unterscheiden. Trotzdem würden die Vibrationszustände und die Struktur dieser winzigen Strings sie als verschiedene <a href="Elementarteilchen" title="Elementarteilchen">Elementarteilchen</a> des <a href="Standardmodell" title="Standardmodell">Standardmodells</a> der Elementarteilchenphysik erscheinen lassen. Zum Beispiel würde ein Schwingungszustand des Strings mit einem <a href="Photon" title="Photon">Photon</a> assoziiert werden, ein anderer Zustand mit einem <a href="Quark_(Physik)" title="Quark (Physik)">Quark</a>. Diese vereinigende Wirkung der Stringtheorie ist eine ihrer größten Stärken, doch reproduziert noch keine bekannte Lösung dieser Theorie genau die Vielzahl von Teilchen, die das Standardmodell kennt.

In der <a href="Raumzeit" title="Raumzeit">Raumzeit</a> überstreicht ein Partikel eine Linie, <a href="Weltlinie" title="Weltlinie">Weltlinie</a> genannt: Das Teilchen hat keine räumliche Ausdehnung, aber es bewegt sich entlang der „<a href="Zeit" title="Zeit">Zeit</a>“. Ein String besitzt dagegen eine <a href="Dimension_(Gr%C3%B6%C3%9Fensystem)" title="Dimension (Größensystem)">zweidimensionale</a> <a href="Weltlinie" title="Weltlinie">Weltfläche</a> („World Sheet“), da er auch eine räumlich eindimensionale Ausdehnung hat. Die Wechselwirkungen der Elementarteilchen, in der üblichen Quantenfeldtheorie der Punktteilchen mit <a href="Feynman-Diagramm" title="Feynman-Diagramm">Feynman-Diagrammen</a> in der Raum-Zeit beschrieben, kann man sich durch „Verdickung“ dieser Feynman-Diagramme in einer Raumrichtung vorstellen (siehe obiges Bild).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Arten_von_Strings">Arten von Strings</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Geschlossene_und_offene_Strings">Geschlossene und offene Strings</h3></div>

Strings können entweder offen oder geschlossen sein. Ein „geschlossener String“ besitzt keine Endpunkte und ist daher in seiner Topologie einem <a href="Kreis" title="Kreis">Kreis</a> äquivalent. Ein „offener String“ hat zwei Enden und ist topologisch äquivalent zu einer Strecke. Nicht alle Stringtheorien enthalten offene Strings, aber jede Theorie muss geschlossene Strings enthalten, da Wechselwirkungen offener Strings immer geschlossene erzeugen können.

Die älteste Stringtheorie, die offene Strings enthielt, war die Typ-1-Stringtheorie.

Mit offenen wie geschlossenen Strings sind immer charakteristische Schwingungsarten (<a href="Moden" class="mw-redirect" title="Moden">Moden</a>) verbunden. Eine bestimmte Vibration eines geschlossenen Strings kann als <a href="Graviton" title="Graviton">Graviton</a> identifiziert werden. In gewissen Stringtheorien stellt die Schwingung mit der niedrigsten Energie eines offenen Strings ein <a href="Tachyon" title="Tachyon">Tachyon</a> dar. Andere Schwingungs<a href="Moden" class="mw-redirect" title="Moden">moden</a> offener Strings zeigen die Eigenschaften von <a href="Photon" title="Photon">Photonen</a> oder <a href="Gluon" title="Gluon">Gluonen</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Orientierung">Orientierung</h3></div>

Strings können auch eine „Orientierung“ besitzen, die man sich als stringinternen Pfeil denken kann, der sie von Strings mit der entgegengesetzten Orientierung unterscheidet. Im Gegensatz dazu gibt es auch den „nichtorientierten String“, dem kein solcher Pfeil zugewiesen werden kann.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bosonische_Stringtheorie">Bosonische Stringtheorie </h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Nambu-Goto-Wirkung">Nambu-Goto-Wirkung</h3></div>

Die Nambu-Goto-Wirkung ist die einfachste Form der <a href="Wirkung_(Physik)" title="Wirkung (Physik)">Wirkung</a> einer Stringtheorie, beschreibt eine bosonische Stringtheorie (ohne Fermionen) und wurde um 1970 von <a href="Y%C5%8Dichir%C5%8D_Nambu" title="Yōichirō Nambu">Yōichirō Nambu</a><a href="#cite_note-7">[7]</a> und Tetsuo Gotō<a href="#cite_note-8">[8]</a> eingeführt. Da die Lichtkegelquantisierung der Nambu-Goto-Wirkung nicht manifest <a href="Kovarianz_(Physik)" title="Kovarianz (Physik)">kovariant</a> ist, bietet sich hier die äquivalente, aber kompliziertere <a href="Polyakov-Wirkung" title="Polyakov-Wirkung">Polyakov-Wirkung</a> an. Ein Punktteilchen, das sich durch die Raumzeit bewegt, beschreibt eine eindimensionale Kurve, auch <a href="Weltlinie" title="Weltlinie">Weltlinie</a> genannt. Analog dazu beschreibt ein eindimensionaler String, der sich durch die Raumzeit bewegt, eine zweidimensionale Weltfläche. Die Weltfläche eines Strings wird beschrieben durch eine Parametrisierung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X^{\mu }(\tau ,\sigma )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X^{\mu }(\tau ,\sigma )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/80270d13a03518d3fd86cd8a134fb563990cb178.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.595ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X^{\mu }(\tau ,\sigma )}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu =0,1,2,\dotsc ,d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu =0,1,2,\dotsc ,d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e1d6dffec5a26594949a1742e0c52df13b2202b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.449ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mu =0,1,2,\dotsc ,d}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\infty <\tau <\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\infty <\tau <\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/62b23eebb0c7756642dc9363c9b5b17f62724709.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:13.855ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle -\infty <\tau <\infty }" loading="lazy"> als Zeitparameter interpretiert werden kann und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\leqslant \sigma \leqslant \sigma _{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\leqslant \sigma \leqslant \sigma _{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe3e7b8304c751ad46562d6c986f0e79713f605a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.691ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0\leqslant \sigma \leqslant \sigma _{m}}" loading="lazy"> den String parametrisiert, für geschlossene Strings gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X^{\mu }(\tau ,\sigma )=X^{\mu }(\tau ,\sigma +2\pi )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X^{\mu }(\tau ,\sigma )=X^{\mu }(\tau ,\sigma +2\pi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eb336b5dd81a29671be89d4b85b81900a1ae5d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.624ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X^{\mu }(\tau ,\sigma )=X^{\mu }(\tau ,\sigma +2\pi )}" loading="lazy">. Sei nun der <a href="Tangentialraum" title="Tangentialraum">Tangentialraum</a> der Weltfläche aufgespannt durch die Vektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} v_{1}^{\mu }={\tfrac {\partial X^{\mu }}{\partial \tau }}\mathrm {d} \tau }">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} v_{1}^{\mu }={\tfrac {\partial X^{\mu }}{\partial \tau }}\mathrm {d} \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a274a8b1b9c9886e94c1bc8849f2e53e29221e81.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:13.386ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} v_{1}^{\mu }={\tfrac {\partial X^{\mu }}{\partial \tau }}\mathrm {d} \tau }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} v_{2}^{\mu }={\tfrac {\partial X^{\mu }}{\partial \sigma }}\mathrm {d} \sigma }">

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} v_{2}^{\mu }={\tfrac {\partial X^{\mu }}{\partial \sigma }}\mathrm {d} \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/82cc7e179334d8aeb648ab013c672521af5b2e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:13.513ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} v_{2}^{\mu }={\tfrac {\partial X^{\mu }}{\partial \sigma }}\mathrm {d} \sigma }" loading="lazy">. Um die Weltfläche zu beschreiben, kann vom Analogon der bekannten euklidischen Flächenformel ausgegangen werden:

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} A&=|\mathrm {d} v_{1}||\mathrm {d} v_{2}||{\sin \phi }|=|\mathrm {d} v_{1}||\mathrm {d} v_{2}|{\sqrt {1-\cos ^{2}\phi }}={\sqrt {|\mathrm {d} v_{1}|^{2}|\mathrm {d} v_{2}|^{2}-|\mathrm {d} v_{1}|^{2}|\mathrm {d} v_{2}|^{2}\cos ^{2}\phi }}\\&={\sqrt {\left(\mathrm {d} v_{1}\cdot \mathrm {d} v_{1}\right)\left(\mathrm {d} v_{2}\cdot \mathrm {d} v_{2}\right)-\left(\mathrm {d} v_{1}\cdot \mathrm {d} v_{2}\right)^{2}}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c755935a0bcd62e60917e9bc157119f7673f2ab9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:85.119ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} A&=|\mathrm {d} v_{1}||\mathrm {d} v_{2}||{\sin \phi }|=|\mathrm {d} v_{1}||\mathrm {d} v_{2}|{\sqrt {1-\cos ^{2}\phi }}={\sqrt {|\mathrm {d} v_{1}|^{2}|\mathrm {d} v_{2}|^{2}-|\mathrm {d} v_{1}|^{2}|\mathrm {d} v_{2}|^{2}\cos ^{2}\phi }}\\&={\sqrt {\left(\mathrm {d} v_{1}\cdot \mathrm {d} v_{1}\right)\left(\mathrm {d} v_{2}\cdot \mathrm {d} v_{2}\right)-\left(\mathrm {d} v_{1}\cdot \mathrm {d} v_{2}\right)^{2}}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Da der Radikand im Fall der Strings negativ ist (höherdimensionaler Minkowskiraum, eine der Richtungen der Strings zeitartig, die andere raumartig), muss noch das Vorzeichen geändert werden, indem einfach die Terme vertauscht werden; setzt man nun die Tangentialvektoren ein, führt dies auf

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=\int \mathrm {d} \tau \mathrm {d} \sigma {\sqrt {\left({\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \tau }}{\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \sigma }}\right)^{2}-\left({\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \tau }}\right)^{2}\left({\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \sigma }}\right)^{2}}}=\int \mathrm {d} \tau \mathrm {d} \sigma {\sqrt {-\det \left({\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \sigma _{1}}}{\frac {\partial X^{\nu }}{\partial \sigma _{2}}}\eta _{\mu \nu }\right)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/336fd9acc4e974cf10cddd9a237e95570b14fb3a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:88.859ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle A=\int \mathrm {d} \tau \mathrm {d} \sigma {\sqrt {\left({\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \tau }}{\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \sigma }}\right)^{2}-\left({\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \tau }}\right)^{2}\left({\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \sigma }}\right)^{2}}}=\int \mathrm {d} \tau \mathrm {d} \sigma {\sqrt {-\det \left({\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \sigma _{1}}}{\frac {\partial X^{\nu }}{\partial \sigma _{2}}}\eta _{\mu \nu }\right)}}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit dem metrischen Tensor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta _{\mu \nu }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta _{\mu \nu }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a8fb25ea6ee5d591c2d819519401a871ee04bc6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.25ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \eta _{\mu \nu }}" loading="lazy"> und der Determinantenbildung bezüglich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{1,2}=\tau ,\sigma }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{1,2}=\tau ,\sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a0c26f48730701a0b68d3c84bfb3fa932b4d0a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.325ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{1,2}=\tau ,\sigma }" loading="lazy">.

Nach der Multiplikation mit entsprechenden Einheiten, um das Funktional konsistent mit einer physikalischen Wirkung zu machen, erhält man nun die Nambu-Goto-Wirkung für geschlossene und offene relativistische Strings in einer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy">-dimensionalen Raumzeit, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> die Lichtgeschwindigkeit ist und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{s}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/942b5ac7697c72b9e3bc1e3b340daf7189fdf61f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.361ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{s}}" loading="lazy"> die oben eingeführte Stringspannung:

<mfrac>

<msub>

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</msub>

</mfrac>

</mrow>

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</msub>

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</mrow>

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</msup>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=-{\frac {T_{s}}{c}}\int _{\tau _{i}}^{\tau _{f}}\mathrm {d} \tau \int _{0}^{\sigma _{m}}\mathrm {d} \sigma {\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-{\dot {X}}^{2}X'^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f33fef48ee6b77644ab12e7e4d2d1127c4eb082.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:46.458ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle S=-{\frac {T_{s}}{c}}\int _{\tau _{i}}^{\tau _{f}}\mathrm {d} \tau \int _{0}^{\sigma _{m}}\mathrm {d} \sigma {\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-{\dot {X}}^{2}X'^{2}}}}" loading="lazy"> mit</dd>

<mover>

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</msup>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L({\dot {X^{\mu }}},X^{\mu '})={\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-{\dot {X}}^{2}X'^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35cd9d73c3f6d967734b22b9d3416cac4efd29bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:35.403ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle L({\dot {X^{\mu }}},X^{\mu '})={\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-{\dot {X}}^{2}X'^{2}}}}" loading="lazy"> und</dd>

<mover>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {X}}={\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \tau }},\,X'={\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \sigma }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3bc0dedc31b4983766a116578711acb7d356d3d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:23.028ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\dot {X}}={\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \tau }},\,X'={\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \sigma }}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Impulsdichten ergeben sich zu:

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</mrow>

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</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{\mu }^{\tau }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {X^{\mu }}}}}=-{\frac {T_{s}}{c}}{\frac {({\dot {X}}\cdot X')X'_{\mu }-X'^{2}{\dot {X}}_{\mu }}{\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-{\dot {X}}^{2}X'^{2}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/11dcb327f819b34ac606d3770bb4f74572120c07.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:41.222ex; height:9.009ex;" alt="{\displaystyle P_{\mu }^{\tau }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {X^{\mu }}}}}=-{\frac {T_{s}}{c}}{\frac {({\dot {X}}\cdot X')X'_{\mu }-X'^{2}{\dot {X}}_{\mu }}{\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-{\dot {X}}^{2}X'^{2}}}}}" loading="lazy"></dd>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{\mu }^{\sigma }={\frac {\partial L}{\partial X^{\mu '}}}=-{\frac {T_{s}}{c}}{\frac {({\dot {X}}\cdot X'){\dot {X}}_{\mu }-({\dot {X}})^{2}X'_{\mu }}{\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-{\dot {X}}^{2}X'^{2}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/475ca456ac4ca630d57863309b833f25693c5c22.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:43.123ex; height:9.009ex;" alt="{\displaystyle P_{\mu }^{\sigma }={\frac {\partial L}{\partial X^{\mu '}}}=-{\frac {T_{s}}{c}}{\frac {({\dot {X}}\cdot X'){\dot {X}}_{\mu }-({\dot {X}})^{2}X'_{\mu }}{\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-{\dot {X}}^{2}X'^{2}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Nambu-Goto-Wirkung kann auch in manifester reparametrisierungsinvarianter Form geschrieben werden, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma =\det(\gamma _{\alpha \beta })}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma =\det(\gamma _{\alpha \beta })}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a88a20cc6295ef52f9d3a2bd5990d26ffb33225.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:12.83ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \gamma =\det(\gamma _{\alpha \beta })}" loading="lazy">, im Detail <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}{\dot {X}}^{2}&{\dot {X}}X'\\{\dot {X}}X'&X'^{2}\end{pmatrix}}}">

<msub>

</mrow>

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<mtd>

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<mrow>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}{\dot {X}}^{2}&{\dot {X}}X'\\{\dot {X}}X'&X'^{2}\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a5b6103b8b157464076b6e98a4340497f289f4d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:22.607ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}{\dot {X}}^{2}&{\dot {X}}X'\\{\dot {X}}X'&X'^{2}\end{pmatrix}}}" loading="lazy">. Dies führt auf:

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S={\frac {T_{s}}{c}}\int \mathrm {d} \tau \mathrm {d} \sigma {\sqrt {-\gamma }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a63372b1e6013c257cbf45fefaf277e5cc40e12e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:21.273ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle S={\frac {T_{s}}{c}}\int \mathrm {d} \tau \mathrm {d} \sigma {\sqrt {-\gamma }}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Form dieser Wirkung eignet sich auch zur Verallgemeinerung auf Objekte, die eine höhere Dimensionalität als Strings haben, wie z. B. <a href="D-Brane" title="D-Brane">D-Brane</a>.

Im Vergleich dazu war die Wirkung für ein relativistisches Punktteilchen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S=-m\int \mathrm {d} s=-m\int {\sqrt {-\eta _{\mu \nu }\mathrm {\mathrm {d} } X^{\mu }\,\mathrm {d} X^{\nu }}}=-m\int {\sqrt {-\eta _{\mu \nu }{\tfrac {\mathrm {d} X^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}\,{\tfrac {\mathrm {d} X^{\nu }}{\mathrm {d} \tau }}}}\mathrm {d} \tau }">

</mrow>

<msqrt>

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</mrow>

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</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

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<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=-m\int \mathrm {d} s=-m\int {\sqrt {-\eta _{\mu \nu }\mathrm {\mathrm {d} } X^{\mu }\,\mathrm {d} X^{\nu }}}=-m\int {\sqrt {-\eta _{\mu \nu }{\tfrac {\mathrm {d} X^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}\,{\tfrac {\mathrm {d} X^{\nu }}{\mathrm {d} \tau }}}}\mathrm {d} \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7447c7d08de10a04c2b9f385b5f93b3c4b4f814f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:68.73ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle S=-m\int \mathrm {d} s=-m\int {\sqrt {-\eta _{\mu \nu }\mathrm {\mathrm {d} } X^{\mu }\,\mathrm {d} X^{\nu }}}=-m\int {\sqrt {-\eta _{\mu \nu }{\tfrac {\mathrm {d} X^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}\,{\tfrac {\mathrm {d} X^{\nu }}{\mathrm {d} \tau }}}}\mathrm {d} \tau }" loading="lazy"> (wobei das Vorzeichen für den Term unter dem Wurzelzeichen so gewählt wird, dass der Term unter der Wurzel für zeitartige Weltlinien positiv ist).

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Polyakov-Wirkung">Polyakov-Wirkung</h3></div>

Die Quadratwurzel der Nambu-Goto Wirkung hat entscheidende Nachteile bei der Quantisierung, eine einfachere Form ist die Polyakov-Wirkung, auch String-Sigma-Modell genannt:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{\sigma }=-{\frac {T}{2}}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \ {\sqrt {-h}}h^{\alpha \beta }\partial _{\alpha }X\cdot \partial _{\beta }X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/36ca2f526ac693f26f9c2f5ccb35647d97741614.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:36.416ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle S_{\sigma }=-{\frac {T}{2}}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \ {\sqrt {-h}}h^{\alpha \beta }\partial _{\alpha }X\cdot \partial _{\beta }X}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{\alpha \beta }(\sigma ,\tau )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{\alpha \beta }(\sigma ,\tau )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eabb5e87c0b19e21d0efc6d879e63fd41a991a53.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.94ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle h_{\alpha \beta }(\sigma ,\tau )}" loading="lazy"> eine zusätzliche Weltflächenmetrik ist (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\sigma =\mathrm {d} \sigma \mathrm {d} \tau }">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\sigma =\mathrm {d} \sigma \mathrm {d} \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee382af4f8442c6afdb2689081ab98a1c5c1ad56.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.892ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\sigma =\mathrm {d} \sigma \mathrm {d} \tau }" loading="lazy">). Reparametrisierungsinvarianz und Skalierungsinvarianz erlauben es, das Hilfsfeld als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a0a492112c754dbea16c3bd5ca9a55dad2d02781.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:17.292ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle h_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}}" loading="lazy"> zu wählen, worauf sich die Polyakov-Wirkung vereinfacht zu

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S={\frac {T}{2}}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \left({\dot {X}}^{2}-X'^{2}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9451d109e04f7a08be62ba6e0d2e118f2be1f396.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:26.255ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle S={\frac {T}{2}}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \left({\dot {X}}^{2}-X'^{2}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

für Bewegungsgleichungen in einer flachen Minkowski-Raumzeit.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Symmetrien_der_Polyakov-Wirkung">Symmetrien der Polyakov-Wirkung</h3></div>

<ul><li><a href="Poincar%C3%A9-Gruppe" title="Poincaré-Gruppe">Poincaré-Transformation</a>: Globale Symmetrie der Weltflächen-Felder mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta X^{\mu }=a_{\nu }^{\mu }X^{\nu }+b^{\mu }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta X^{\mu }=a_{\nu }^{\mu }X^{\nu }+b^{\mu }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/202b7dbf1378fd7f2af88794a5a10981274c541c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.982ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta X^{\mu }=a_{\nu }^{\mu }X^{\nu }+b^{\mu }}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta h^{\alpha \beta }=0}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta h^{\alpha \beta }=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad840531c5c297e817bd10d4b7fda4352c216596.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.875ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \delta h^{\alpha \beta }=0}" loading="lazy">.</li></ul>

<ul><li>Reparametrisierungen: Die Polyakov-Wirkung ist klassisch äquivalent zur Nambu-Goto-Wirkung und daher auch lokal reparametrisierungsinvariant unter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ^{\alpha }\mapsto f^{\alpha }(\sigma )=\sigma '^{\alpha }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ^{\alpha }\mapsto f^{\alpha }(\sigma )=\sigma '^{\alpha }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4f8970f55e88d58b778885d7f50088357fdf80d6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.138ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \sigma ^{\alpha }\mapsto f^{\alpha }(\sigma )=\sigma '^{\alpha }}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{\alpha \beta }(\sigma )={\tfrac {\partial f^{\gamma }}{\partial \sigma ^{\alpha }}}{\tfrac {\partial f^{\delta }}{\partial \sigma ^{\beta }}}h_{\gamma \delta }(\sigma ')}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{\alpha \beta }(\sigma )={\tfrac {\partial f^{\gamma }}{\partial \sigma ^{\alpha }}}{\tfrac {\partial f^{\delta }}{\partial \sigma ^{\beta }}}h_{\gamma \delta }(\sigma ')}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b18757a1d0b5449e604229e87677e8daa9506df1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:24.197ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle h_{\alpha \beta }(\sigma )={\tfrac {\partial f^{\gamma }}{\partial \sigma ^{\alpha }}}{\tfrac {\partial f^{\delta }}{\partial \sigma ^{\beta }}}h_{\gamma \delta }(\sigma ')}" loading="lazy">.</li></ul>

<ul><li>Weyl-Transformationen: Lokal invariant unter Reskalierung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{\alpha \beta }\mapsto e^{\phi (\sigma ,\tau )}h_{\alpha \beta }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{\alpha \beta }\mapsto e^{\phi (\sigma ,\tau )}h_{\alpha \beta }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01c3ba16dfe37424612a105de69259864d2c330e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.566ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle h_{\alpha \beta }\mapsto e^{\phi (\sigma ,\tau )}h_{\alpha \beta }}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta X^{\mu }=0}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta X^{\mu }=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc2d0f48b1e52d7bf055ad356aca6dee27f4b299.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.53ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta X^{\mu }=0}" loading="lazy">.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bewegungsgleichungen_und_Randbedingungen">Bewegungsgleichungen und Randbedingungen</h3></div>

Nehmen wir die Bewegung in der flachen Minkowski-Raumzeit an. Die Bewegungsgleichungen der Wirkung beschreiben eindeutig <a href="Wellengleichung" title="Wellengleichung">Wellengleichungen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }X^{\mu }=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }X^{\mu }=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dac1d8c03bae2226218fc5268cad8bcba1afcb43.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.627ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }X^{\mu }=0}" loading="lazy">, mit verschwindendem <a href="Energie-Impuls-Tensor" title="Energie-Impuls-Tensor">Energie-Impuls-Tensor</a> als weitere Einschränkung.

Für einen geschlossenen String gelten nun die periodischen Randbedingungen

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X^{\mu }(\sigma ,\tau )=X^{\mu }(\sigma +\pi ,\tau )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92e9a6567c9063d8c6d9c96d0a43df8555fe4ee5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.461ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X^{\mu }(\sigma ,\tau )=X^{\mu }(\sigma +\pi ,\tau )}" loading="lazy">.</dd></dl>

Für einen offenen String gilt die <a href="Neumann-Randbedingung" title="Neumann-Randbedingung">Neumann-Randbedingung</a> (String, dessen Endpunkte sich bewegen)

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X'_{\mu }=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53ada14f8a5e413de2610e4d030a8c3079ebba2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.409ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X'_{\mu }=0}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma =0,\pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma =0,\pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f7f0cb5c879b98129571810d9343ded789a7c364.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.957ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \sigma =0,\pi }" loading="lazy">,</dd></dl>

für einen offenen String mit <a href="Dirichlet-Randbedingung" title="Dirichlet-Randbedingung">Dirichlet-Randbedingung</a> (beide Endpunkte des Strings „auf gleicher Höhe“ fixiert)

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X^{\mu }|_{\sigma =0}=X_{0}^{\mu }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc6b422fcd48a9d6d5759b4db86add4b4130cd5e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.459ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle X^{\mu }|_{\sigma =0}=X_{0}^{\mu }}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X^{\mu }|_{\sigma =\pi }=X_{\pi }^{\mu }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X^{\mu }|_{\sigma =\pi }=X_{\pi }^{\mu }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/397ae3101cad079e95c601cb2b66431cece0f193.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.579ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle X^{\mu }|_{\sigma =\pi }=X_{\pi }^{\mu }}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lösung_der_Bewegungsgleichungen">Lösung der Bewegungsgleichungen</h3></div>

Um Lösungen der Bewegungsgleichungen zu finden, bietet sich eine Formulierung in Lichtkegel-Koordinaten an mit

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ^{\pm }=\tau \pm \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a67976a98430d2d96ebbffb02c53dd98f03fd58.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.312ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma ^{\pm }=\tau \pm \sigma }" loading="lazy"> mit Ableitungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial _{\pm }={\frac {1}{2}}(\partial _{\tau }\pm \partial _{\sigma })}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{\pm }={\frac {1}{2}}(\partial _{\tau }\pm \partial _{\sigma })}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/484f3dad31039bada2c02fb4104c92e9a53cef64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.216ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \partial _{\pm }={\frac {1}{2}}(\partial _{\tau }\pm \partial _{\sigma })}" loading="lazy"> und Wellengleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial _{+}\partial _{-}X^{\mu }=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{+}\partial _{-}X^{\mu }=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/daa531d8dd660e42513ba359741be5b3824e20f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.972ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \partial _{+}\partial _{-}X^{\mu }=0}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Geschlossener_String">Geschlossener String</h3></div>

Die allgemeine Lösung der Wellengleichung mit Randbedingungen für geschlossene Strings ist gegeben durch

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{R}^{\mu }={\frac {1}{2}}x^{\mu }+{\frac {1}{2}}l_{s}^{2}p^{\mu }(\tau -\sigma )+{\frac {i}{2}}l_{s}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\alpha _{n}^{\mu }e^{-2in(\tau -\sigma )}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/676eac6820f2a10e97932fcde69ca159fbf38a4f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:52.139ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle X_{R}^{\mu }={\frac {1}{2}}x^{\mu }+{\frac {1}{2}}l_{s}^{2}p^{\mu }(\tau -\sigma )+{\frac {i}{2}}l_{s}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\alpha _{n}^{\mu }e^{-2in(\tau -\sigma )}}" loading="lazy"></dd></dl>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{L}^{\mu }={\frac {1}{2}}x^{\mu }+{\frac {1}{2}}l_{s}^{2}p^{\mu }(\tau +\sigma )+{\frac {i}{2}}l_{s}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}{\tilde {\alpha }}_{n}^{\mu }e^{-2in(\tau +\sigma )}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4ab68629b3c2980a403eda08b5624475270580aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:52.011ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle X_{L}^{\mu }={\frac {1}{2}}x^{\mu }+{\frac {1}{2}}l_{s}^{2}p^{\mu }(\tau +\sigma )+{\frac {i}{2}}l_{s}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}{\tilde {\alpha }}_{n}^{\mu }e^{-2in(\tau +\sigma )}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei der Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l_{s}=\alpha '}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l_{s}=\alpha '}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/919e559990c9d8dcaf43617143726f805bf946d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.967ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle l_{s}=\alpha '}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T={\tfrac {1}{2\pi \alpha '}}}">

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T={\tfrac {1}{2\pi \alpha '}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f93b4a831840c01df7a7f6ccf7ff7fa1834b4dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:8.918ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle T={\tfrac {1}{2\pi \alpha '}}}" loading="lazy"> zur Vereinfachung gesetzt wurde. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{R}^{\mu }}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{R}^{\mu }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce7ed7ec951032d7291bd5250b5f3069c41fa3cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.404ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle X_{R}^{\mu }}" loading="lazy"> bezeichnet man bei einem geschlossenen String als Rechts-Beweger und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{L}^{\mu }}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{L}^{\mu }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98a0d561c7f0cd792ff143edbc179e7895baeed5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.276ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle X_{L}^{\mu }}" loading="lazy"> als Links-Beweger.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Offener_String">Offener String</h3></div>

Die allgemeine Lösung für offene Strings mit Neumann-Randbedingungen ist gegeben durch

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{L}^{\mu }={\frac {1}{2}}x^{\mu }+{\frac {1}{2}}l_{s}^{2}p^{\mu }\tau +il_{s}\sum _{m\neq 0}{\frac {1}{m}}\alpha _{m}^{\mu }e^{im\tau }\cos(m\sigma )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/601b1d32377d295d0a1738757e5ca2a6b355982c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:49.657ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle X_{L}^{\mu }={\frac {1}{2}}x^{\mu }+{\frac {1}{2}}l_{s}^{2}p^{\mu }\tau +il_{s}\sum _{m\neq 0}{\frac {1}{m}}\alpha _{m}^{\mu }e^{im\tau }\cos(m\sigma )}" loading="lazy">.</dd></dl>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{\mu }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/684350815d8cc05d6862ce3edf1fb819c1774b46.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.553ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x^{\mu }}" loading="lazy"> ist die Position des Massenschwerpunktes und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p^{\mu }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p^{\mu }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c408c887ff872b0832f55d2b9088ea1f0a1a3832.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.482ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle p^{\mu }}" loading="lazy"> der Gesamtimpuls des Strings; der exponentielle Term beschreibt die angeregten Zustände.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Entwicklung_zu_Superstringtheorie_und_M-Theorie">Entwicklung zu Superstringtheorie und M-Theorie </h2></div>

Ursprünglich war die Entdeckung der Strings (als „duale Modelle“) eine Formel von <a href="Gabriele_Veneziano" title="Gabriele Veneziano">Gabriele Veneziano</a> aus dem Jahre 1968 im Rahmen der <a href="S-Matrix" title="S-Matrix">Streumatrix</a>-Theorie stark wechselwirkender Teilchen. 1970 gaben <a href="Y%C5%8Dichir%C5%8D_Nambu" title="Yōichirō Nambu">Yōichirō Nambu</a>, <a href="Holger_Bech_Nielsen" title="Holger Bech Nielsen">Holger Bech Nielsen</a> und <a href="Leonard_Susskind" title="Leonard Susskind">Leonard Susskind</a> eine Interpretation in Form von eindimensionalen Strings. Zunächst nur für Teilchen mit ganzzahligem <a href="Spin" title="Spin">Spin</a> (<a href="Boson" title="Boson">Bosonen</a>) formuliert, folgte schon bald 1971 die Beschreibung von Teilchen mit halbzahligem Spin (<a href="Fermion" title="Fermion">Fermionen</a>) im Stringmodell durch <a href="Andr%C3%A9_Neveu" title="André Neveu">André Neveu</a>, <a href="John_Schwarz" title="John Schwarz">John Schwarz</a> und <a href="Pierre_Ramond" title="Pierre Ramond">Pierre Ramond</a>. Daraus ergab sich im Laufe der 1970er Jahre die Einsicht, dass in den Stringmodellen <a href="Supersymmetrie" title="Supersymmetrie">Supersymmetrie</a> zwischen Bosonen und Fermionen bestehen muss. Anfangs bestand die Hoffnung, mit Strings die <a href="Starke_Wechselwirkung" title="Starke Wechselwirkung">starke Wechselwirkung</a> zu beschreiben, doch die Entdeckung, dass die Quantentheorie der Strings nur in 26 Dimensionen (Bosonen-String) bzw. 10 Dimensionen (Superstring) möglich ist, versetzte der Theorie um 1974 zunächst einen Dämpfer. Durch die Arbeit von <a href="Joel_Scherk" class="mw-redirect" title="Joel Scherk">Joel Scherk</a> u. a. wurde jedoch bald darauf klar, dass eine Superstring-Theorie als Kandidat für eine <a href="Gro%C3%9Fe_vereinheitlichte_Theorie" title="Große vereinheitlichte Theorie">vereinheitlichte Theorie</a> der Naturkräfte inklusive der Gravitation in Frage käme. Die Gravitation ergibt sich bei geschlossenen Strings automatisch als masselose Spin-2-Anregung, die übrigen bekannten Naturkräfte (alles <a href="Eichtheorie" title="Eichtheorie">Eichtheorien</a>) entsprechen masselosen Spin-1-Bosonenanregungen. Die zusätzlichen <a href="Dimension_(Mathematik)" title="Dimension (Mathematik)">Dimensionen</a> müssten dann auf irgendeine Weise „zusammengerollt“ (<a href="Kompaktifizierung" title="Kompaktifizierung">kompaktifiziert</a>) werden, wie schon bei den seit den 1930er Jahren bekannten <a href="Kaluza-Klein-Theorie" title="Kaluza-Klein-Theorie">Kaluza-Klein-Theorien</a> (siehe <a href="Kaluza-Klein-Kompaktifizierung" title="Kaluza-Klein-Kompaktifizierung">Kaluza-Klein-Kompaktifizierung</a>).

1984 entdeckten <a href="Michael_Boris_Green" title="Michael Boris Green">Michael Green</a> und <a href="John_Schwarz" title="John Schwarz">John Schwarz</a>, dass sich in Superstringtheorien die Ein-Schleifen-Divergenzen in der Störungstheorie nur bei ganz bestimmten Symmetriegruppen (der Drehgruppe in 32 Dimensionen SO(32) und der speziellen <a href="Lie-Gruppe" title="Lie-Gruppe">Lie-Gruppe</a> E8) aufheben. Außerdem wurde bei diesen Symmetrien das Auftreten von „Anomalien“ vermieden, das heißt ein Symmetriebruch aufgrund quantenmechanischer Effekte in bestimmten Wechselwirkungsdiagrammen. Dies führte zu einer Neubelebung der Theorie und einer ganzen Reihe weiterer Entdeckungen (sogenannte „Erste Superstring-Revolution“). Sie zeigten nämlich, dass die Theorie für die Eichtheorien, die im Niedrigenergie-Grenzfall der Stringtheorie das Teilchenspektrum beschreiben, erhebliche Einschränkungen ergibt. Außerdem konstruierten Green und Schwarz explizit die ersten Superstringtheorien, deren Existenz vorher nur vermutet worden war.

Um nach der „Kompaktifizierung“ (dem „Einrollen“) der Extra-Dimensionen ein realistisches Modell der Elementarteilchen in den beobachtbaren 4 Dimensionen zu bekommen, folgerten <a href="Edward_Witten" title="Edward Witten">Edward Witten</a> u. a. außerdem eine Reihe von Einschränkungen für die Kompaktifizierungs-<a href="Mannigfaltigkeit" title="Mannigfaltigkeit">Mannigfaltigkeit</a> (bevorzugt wurden sogenannte <a href="Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit" title="Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit">Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten</a>).

Zunächst bestand die Hoffnung, auch hier stark einschränkende Prinzipien zu finden, doch entdeckte man im Laufe der 1980er Jahre, dass dies nicht der Fall war und die Theorie Raum für eine sehr hohe Zahl möglicher „Vakua“ gab.

Als Kandidaten für die Superstring-Theorien ergaben sich in den 1980er Jahren folgende fünf Theorien:

<ul><li>Die <a href="Typ-I-Stringtheorie" title="Typ-I-Stringtheorie">Typ-I-Stringtheorie</a>, mit offenen Enden der Strings (aber Ankopplung an geschlossene Strings durch Kontakt der Enden, entsprechend gravitativer Wechselwirkung) und der Symmetrie SO(32) mit Ladung an den Enden.</li>

<li>Die <a href="Typ_II_Stringtheorie" class="mw-redirect" title="Typ II Stringtheorie">Typ-IIA- und die Typ-IIB-Stringtheorie</a>, mit geschlossenen Strings; in Typ II A haben die masselosen Fermionen beide Händigkeiten (links/rechts), in II B nur eine Händigkeit (Chiralität).</li>

<li>Zwei Varianten der heterotischen Stringtheorie, geschlossene Strings, die unter Bezug auf ihre Symmetriegruppen E8 × E8 bzw. SO(32) gelegentlich als E-heterotische und O-heterotische Stringtheorie bezeichnet werden. Sie wurden vom „Princeton-String-Quartett“ um <a href="David_Gross" title="David Gross">David Gross</a> gefunden. In ihnen werden rechts- und linkshändige Moden (RH, LH) durch unterschiedliche Theorien beschrieben: RH durch eine 10-dimensionale Superstringtheorie (Beschreibung von Bosonen und Fermionen), LH durch eine 26-dimensionale bosonische Stringtheorie, die aber zu 10 Dimensionen kompaktifiziert, wobei die Eichfeld-Ladungen entstehen, E8 × E8 bzw. SO(32).</li></ul>

<a href="Edward_Witten" title="Edward Witten">Edward Witten</a> vermutete 1995, dass die verschiedenen Stringtheorie-Typen verschiedene <a href="Approximation" title="Approximation">Approximationen</a> einer umfassenderen Theorie, der <a href="M-Theorie" title="M-Theorie">M-Theorie</a>, sind. Es ist noch keine vollständige und einheitliche Formulierung dieser Theorie gelungen, sie ist aber Gegenstand intensiver Forschung. Argumente dafür, dass es sich bei diesen Theorien um Aspekte einer einzelnen Theorie handelt, wurden durch Aufzeigen von <a href="Dualit%C3%A4t_(Mathematik)" title="Dualität (Mathematik)">Dualitäten</a> zwischen den einzelnen Stringtheorien erbracht, das heißt, es wurde gezeigt, dass sie das gleiche System, nur z. B. im Bereich verschieden starker Kopplungskonstanten, beschreiben. Ähnliche Dualitäten wurden auch für verschiedene Lösungen („Vakua“, das heißt Grundzustände) der Stringtheorie gefunden. Dies war die sogenannte „Zweite Superstring-Revolution“, die zu einer Neubelebung der damals wieder etwas stagnierenden Theorie Mitte der 1990er Jahre führte.

Ein interessantes Ergebnis dieser Vereinigung der Teiltheorien war, dass die elfdimensionale <a href="Supergravitation" title="Supergravitation">Supergravitation</a>, die davor etwas in die Isolation geraten war, als weiterer Grenzfall der M-Theorie erkannt wurde. Diese enthält aber keine Strings, sondern ist eine Teilchen-Approximation von zwei- und fünfdimensionalen Branen. Das verdeutlicht, dass eine allgemeine Stringtheorie mehr beschreibt als nur eindimensionale Strings, und in der Tat hat sich Ende der 1990er Jahre gezeigt, dass höherdimensionale Branen (<a href="D-Brane" title="D-Brane">D-Branes</a>) eine wichtige Rolle in der Stringtheorie spielen (<a href="Joseph_Polchinski" title="Joseph Polchinski">Joseph Polchinski</a>).

Die Stringtheorie hat sich über die Jahre zu einem sehr aktiven Forschungsgebiet mit einer großen Anzahl von Veröffentlichungen pro Jahr entwickelt, was seinen Niederschlag unter anderem darin findet, dass einige beteiligte Forscher (insbesondere Edward Witten) zu den meistzitierten<a href="#cite_note-9">[9]</a> Wissenschaftlern der gesamten Physik gehören.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Experimentelle_Überprüfung">Experimentelle Überprüfung</h2></div>

Gemäß der Stringtheorie gibt es ein Vibrationsspektrum von unendlich vielen <a href="Schwingung" title="Schwingung">Schwingungsmodi</a>, die aber viel zu hohe <a href="Masse_(Physik)" title="Masse (Physik)">Massen</a> (<a href="Energie" title="Energie">Energien</a>) haben, um direkt beobachtet werden zu können.<a href="#cite_note-10">[10]</a> Berücksichtigt man die geringe Ausdehnung der Strings in der <a href="Gr%C3%B6%C3%9Fenordnung" title="Größenordnung">Größenordnung</a> der <a href="Planck-Skala" title="Planck-Skala">Planck-Länge</a>, so bedeutet das nach einem quantenmechanischen <a href="Compton-Effekt#Compton-Wellenlänge" title="Compton-Effekt">Standardargument</a>, dass die Vibrationsmodi Massen besitzen, die ein Vielfaches von ca. 1019 <a href="Elektronenvolt" title="Elektronenvolt">GeV</a> betragen. Das liegt um viele Größenordnungen über dem, was man heute beobachten kann; ein direkter Nachweis dieser Vibrationsmodi ist deshalb nicht möglich. Daher versucht man für die Stringtheorie spezifische Eigenschaften für die niedrigenergetischen, im Vergleich zur <a href="Planck-Skala" title="Planck-Skala">Planckmasse</a> fast „masselosen“ Anregungen zu finden. Dazu müsste man aber den <a href="Kaluza-Klein-Kompaktifizierung" title="Kaluza-Klein-Kompaktifizierung">Kompaktifizierungsmechanismus</a> von 10 oder 11 zu 4 Dimensionen – oder von der Planckmasse von 1019 bis zur <a href="W-Boson" title="W-Boson">W-Bosonenmasse</a> von ca. 80 GeV oder der <a href="Proton" title="Proton">Protonmasse</a> von ca. 1 GeV – in der Stringtheorie besser verstehen, was bisher nicht der Fall ist.

Trotzdem gibt es bereits eine Fülle diskutierter Lösungen für den beobachtbaren Niedrigenergiesektor in 4 Raum-Zeit-Dimensionen (sogenannte String-Phänomenologie).<a href="#cite_note-11">[11]</a>

Es war erwartet worden, dass die Experimente z. B. mit dem <a href="Large_Hadron_Collider" title="Large Hadron Collider">Large Hadron Collider</a> (LHC) in der 2. Hälfte der 2010er Jahre Belege für die Existenz supersymmetrischer Teilchen und damit für die Richtigkeit der Stringtheorie erbringen könnten.<a href="#cite_note-12">[12]</a> Bis 2019 sind keine supersymmetrischen Teilchen gefunden worden, und es gibt auch für den Mechanismus der Supersymmetriebrechung bei den Stringtheoretikern bisher keine Übereinstimmung.

Als eine weitere Vorhersage der Stringtheorie gelten <a href="Extradimension" class="mw-disambig" title="Extradimension">Extradimensionen</a>. Als eine Möglichkeit zur Überprüfung der Stringtheorie wurden zum Beispiel<a href="#cite_note-13">[13]</a> ein Axion-Monodromie-Mechanismus und andere mögliche Hinweise auf die Kompaktifizierung der Extradimensionen in der <a href="Kosmische_Hintergrundstrahlung" class="mw-redirect" title="Kosmische Hintergrundstrahlung">kosmischen Hintergrundstrahlung</a> (CMB) diskutiert. Die Auswirkung von primordialen Gravitationswellen könnte sich in Mustern in der Polarisation der CMB niederschlagen, wonach <a href="Background_Imaging_of_Cosmic_Extragalactic_Polarization" title="Background Imaging of Cosmic Extragalactic Polarization">Bicep</a> und andere Experimente suchen, und man bemüht sich Modelle des <a href="Inflation_(Kosmologie)" title="Inflation (Kosmologie)">Inflationspotentials</a> aus der Stringtheorie abzuleiten, die dann so getestet werden können.

Es kann sich auch in der Untersuchung von Modellen zeigen, dass sie theoretisch inkonsistent sind bzw. mit allgemein akzeptierten Annahmen der Physik nicht übereinstimmen. Daher wurde zum Beispiel die bosonische Stringtheorie ausgeschlossen. Als Test der Quantengravitation gilt allgemein, wie gut eine Theorie mikroskopisch die <a href="Bekenstein-Hawking-Entropie" title="Bekenstein-Hawking-Entropie">Entropie Schwarzer Löcher</a> erklären kann. Es wurden seit 2005 verschiedene Sumpfland-Hypothesen vorgeschlagen, um die große Anzahl möglicher String-Vakua (String Landscape) einzugrenzen (initiiert von <a href="Cumrun_Vafa" title="Cumrun Vafa">Cumrun Vafa</a>). Sumpfland meint dabei physikalisch auszuschließende Bereiche der String Landschaften. 2018 stellte Vafa seine kontrovers diskutierte De-Sitter-Sumpfland-Hypothese auf, die, falls sie zutrifft, zu einem Widerspruch mit kosmologischen Implikationen der Stringtheorie führen würde (und auch für Inflationsmodelle ein Problem ist). Sie sagt eine <a href="Quintessenz_(Physik)" title="Quintessenz (Physik)">Quintessenz</a>-Form der <a href="Dunkle_Energie" title="Dunkle Energie">Dunklen Energie</a> voraus, was astronomisch überprüft werden kann (und im <a href="Dark_Energy_Survey" title="Dark Energy Survey">Dark Energy Survey</a> geplant ist).

Die Stringtheorie findet auch in der Festkörperphysik Anwendung, insbesondere über die duale Beschreibung konformer <a href="Yang-Mills-Theorie" title="Yang-Mills-Theorie">Yang-Mills-Theorien</a> auf Oberflächen und Stringtheorien in den Volumina, die von der Oberfläche umschlossen werden, in der <a href="Holografisches_Prinzip" title="Holografisches Prinzip">AdS/CFT-Korrespondenz</a>.<a href="#cite_note-14">[14]</a> Sogar in der Hydrodynamik findet die Stringtheorie so Anwendung (<a href="Navier-Stokes-Gleichung" class="mw-redirect" title="Navier-Stokes-Gleichung">Navier-Stokes-Gleichung</a> im Skalierungsgrenzfall einerseits, Einstein-Gravitation als Grenzfall der Stringtheorie andererseits in der dualen Beschreibung).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Kritik">Kritik</h2></div>

An der Stringtheorie entzündete sich seit den 2000er Jahren eine zum Teil heftige Kritik. Der Nobelpreisträger und Festkörperphysiker <a href="Robert_Laughlin" class="mw-redirect" title="Robert Laughlin">Robert Laughlin</a>, der vor allem die starke Bindung von Forschungsressourcen auf einem den Anwendungen fernstehenden Gebiet kritisiert, fasst es wie folgt zusammen: „Weit entfernt von einer wunderbaren technologischen Hoffnung auf eine bessere Zukunft ist die Stringtheorie die tragische Konsequenz eines überholten Glaubenssystems.“ (“Far from a wonderful technological hope for a greater tomorrow, string theory is the tragic consequence of an obsolete belief system.”)<a href="#cite_note-15">[15]</a> Der Nobelpreisträger <a href="Gerard_%E2%80%99t_Hooft" title="Gerard ’t Hooft">Gerard ’t Hooft</a> (2013) kritisiert wie Vertreter konkurrierender Theorien zur Quantengravitation (wie der <a href="Schleifenquantengravitation" title="Schleifenquantengravitation">Schleifenquantengravitation</a>, <a href="Carlo_Rovelli" title="Carlo Rovelli">Carlo Rovelli</a>, <a href="Lee_Smolin" title="Lee Smolin">Lee Smolin</a>), dass die Stringtheorie zu sehr konventionellen Auffassungen der Rolle der Raumzeit in der Quantenmechanik verhaftet ist.<a href="#cite_note-tHooft2013-4">[4]</a> Carlo Rovelli kritisiert an der Stringtheorie, dass sie sich als nicht funktionsfähig erweise und dennoch auch nach Jahrzehnten mit einem Aufwand, der seinesgleichen sucht, noch daran weitergearbeitet werde (“it does not work, therefore let’s develop it further”).<a href="#cite_note-Rovelli2013-3">[3]</a> Einige Kritiker gehen sogar so weit, dass sie der Stringtheorie die Rolle einer falsifizierbaren wissenschaftlichen Theorie absprechen. <a href="Peter_Woit" title="Peter Woit">Peter Woit</a> verwendete dafür ein bekanntes Zitat des für seine Scharfzüngigkeit bekannten Nobelpreisträgers <a href="Wolfgang_Pauli" title="Wolfgang Pauli">Wolfgang Pauli</a>, der grundsätzlich experimentell nicht überprüfbare (und auch nicht falsifizierbare) Theorien für physikalische Phänomene so charakterisierte, dass sie nicht einmal falsch seien (englisch not even wrong, der Titel von Woits Buch).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Stringlandschaft" title="Stringlandschaft">Stringlandschaft</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Populärwissenschaftliche_Bücher">Populärwissenschaftliche Bücher</h3></div>

<ul><li><a href="Brian_Greene" title="Brian Greene">Brian Greene</a>: The Elegant Universe: Superstrings, Hidden Dimensions, and the Quest for the Ultimate Theory. Vintage Books, 2000, ISBN 0-393-05858-1. (Das elegante Universum. 2002, Goldmann Verlag, 2005, ISBN 3-442-76026-7.)</li>

<li>Brian Greene: Der Stoff, aus dem der Kosmos ist – Raum, Zeit und die Beschaffenheit der Wirklichkeit. Siedler Verlag, 2004, ISBN 3-88680-738-X. (Goldmann TB 2008; Originalausgabe The fabric of the cosmos.)</li>

<li><a href="Steven_Gubser" title="Steven Gubser">Steven Gubser</a>: The little book of string theory. Princeton University Press, 2010.</li>

<li><a href="Michio_Kaku" title="Michio Kaku">Michio Kaku</a>: Im Hyperraum – Eine Reise durch Zeittunnel und Paralleluniversen. Rowohlt, 1998, ISBN 3-499-60360-8.</li>

<li>Michio Kaku: Die Physik der unsichtbaren Dimensionen – Eine Reise durch Zeittunnel und Paralleluniversen. Rowohlt, 2013, ISBN 978-3-499-61509-2.</li>

<li><a href="Lisa_Randall" title="Lisa Randall">Lisa Randall</a>: Verborgene Universen – Eine Reise in den extradimensionalen Raum. Fischer TB, 2010, ISBN 978-3-10-062805-3.</li>

<li><a href="Dieter_L%C3%BCst" title="Dieter Lüst">Dieter Lüst</a>: Quantenfische: Die Stringtheorie und die Suche nach der Weltformel. C.H. Beck, München 2011, ISBN 978-3-406-62285-4.</li>

<li><a href="Paul_Davies_(Physiker)" title="Paul Davies (Physiker)">Paul Davies</a>, Julian R. Brown: Superstrings. Eine Allumfassende Theorie der Natur in der Diskussion. DTV, 1996, ISBN 3-423-30035-3 (zuerst 1988).</li>

<li>Frederick David Peat: Superstrings, kosmische Fäden. Hoffmann und Campe, Hamburg 1989, ISBN 3-455-08340-4.</li></ul>

Von Kritikern der Stringtheorie:

<ul><li><a href="Peter_Woit" title="Peter Woit">Peter Woit</a>: Not Even Wrong. The Failure of String Theory and the Continuing Challenge to Unify the Laws of Physics. Jonathan Cape, 2006, ISBN 0-224-07605-1.</li>

<li><a href="Lee_Smolin" title="Lee Smolin">Lee Smolin</a>: Die Zukunft der Physik: Probleme der String-Theorie und wie es weitergeht. Deutsche Verlags-Anstalt, München 2009. Siehe auch <a rel="nofollow" class="external text" href="http://cosmicvariance.com/2006/10/03/the-trouble-with-physics/">The Trouble with Physics.</a></li>

<li><a href="Robert_B._Laughlin" class="mw-redirect" title="Robert B. Laughlin">Robert B. Laughlin</a>: Abschied von der Weltformel. Die Neuerfindung der Physik. Piper Verlag, München 2007, ISBN 978-3-492-04718-0 (A different universe – Reinventing Physics from the bottom down. Basic Books, New York, 2005.)</li>

<li><a href="Sabine_Hossenfelder" title="Sabine Hossenfelder">Sabine Hossenfelder</a>: Das hässliche Universum: Warum unsere Suche nach Schönheit die Physik in die Sackgasse führt. S. Fischer 2018, ISBN 978-3-10-397246-7 (Lost in Math: How Beauty Leads Physics Astray. Basic Books, 2018).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lehrbücher">Lehrbücher</h3></div>

<ul><li><a href="Katrin_Becker" title="Katrin Becker">Katrin Becker</a>, <a href="Melanie_Becker" title="Melanie Becker">Melanie Becker</a>, <a href="John_Schwarz" title="John Schwarz">John Schwarz</a>: String Theory and M-Theory: A Modern Introduction. Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-86069-7.</li>

<li>Ralph Blumenhagen, Dieter Lüst, Stefan Theisen: Basic concepts of string theory. Springer, 2013.</li>

<li><a href="Michael_Boris_Green" title="Michael Boris Green">Michael Green</a>, John Schwarz, <a href="Edward_Witten" title="Edward Witten">Edward Witten</a>: Superstring theory. Cambridge University Press, 1987.

<ul><li>Vol. 1: Introduction. ISBN 0-521-35752-7.</li>

<li>Vol. 2: Loop amplitudes, anomalies and phenomenology. ISBN 0-521-35753-5.</li></ul></li>

<li><a href="Luis_E._Ib%C3%A1%C3%B1ez" title="Luis E. Ibáñez">Luis E. Ibáñez</a>, Angel M. Uranga: String theory and particle physics. An introduction to String Phenomenology. Cambridge University Press, 2012, ISBN 978-0-521-51752-2.</li>

<li><a href="Clifford_Johnson" title="Clifford Johnson">Clifford Johnson</a>: D-branes. Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-80912-6.</li>

<li><a href="Elias_Kiritsis" title="Elias Kiritsis">Elias Kiritsis</a>: String Theory in a Nutshell. Princeton University Press, 2007, ISBN 978-0-691-12230-4.</li>

<li><a href="Michio_Kaku" title="Michio Kaku">Michio Kaku</a>: Introduction to Superstrings and M-Theory. 2. Auflage. Springer, 1999, ISBN 0-387-98589-1.</li>

<li><a href="Dieter_L%C3%BCst" title="Dieter Lüst">Dieter Lüst</a>, <a href="Stefan_Theisen" title="Stefan Theisen">Stefan Theisen</a>: Lectures on String Theory. (= Lecture Notes in Physics. No. 346). Springer Verlag, 1989, ISBN 0-387-51882-7.</li>

<li><a href="Joseph_Polchinski" title="Joseph Polchinski">Joseph Polchinski</a>: String Theory. Cambridge University Press, 1998.

<ul><li>Vol. 1: An introduction to the bosonic string. ISBN 0-521-63303-6.</li>

<li>Vol. 2: Superstring theory and beyond. ISBN 0-521-63304-4.</li></ul></li>

<li><a href="Barton_Zwiebach" title="Barton Zwiebach">Barton Zwiebach</a>: A First Course in String Theory. Cambridge University Press, 2004, ISBN 0-521-83143-1.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Aufsätze">Aufsätze</h3></div>

<ul><li>Michael Green: Superstrings. In: Scientific American. November 1986, (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.damtp.cam.ac.uk/user/mbg15/superstrings/superstrings.html">damtp.cam.ac.uk</a>).</li>

<li>Edward Witten: What every physicist should know about string theory. In: Physics Today. November 2015, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.sns.ias.edu/ckfinder/userfiles/files/2015_Phys_Today.pdf">sns.ias.edu</a> (PDF).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Stringtheorie" class="extiw external" title="wikt:Stringtheorie">Wiktionary: Stringtheorie</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:String_theory?uselang=de">Commons: Stringtheorie</a> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Die_Stringtheorie_%E2%80%93_eine_popul%C3%A4rwissenschaftliche_Einf%C3%BChrung" class="extiw external" title="b:Die Stringtheorie – eine populärwissenschaftliche Einführung">Wikibooks: Populärwissenschaftliche Einführung in die Stringtheorie</a> – Lern- und Lehrmaterialien</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.stringwiki.org/">String Theory Wiki</a> Bücher und Skripts zu allen Teilbereichen der Stringtheorie (englisch)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://hep.itp.tuwien.ac.at/~kreuzer/strings.html">Kurze Einführung in Stringtheorie</a> (deutsch)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/0,1518,533751,00.html">Auf der Suche nach den verborgenen Universen</a>, <a href="Spiegel_Online" class="mw-redirect" title="Spiegel Online">Spiegel Online</a>, 29. Februar 2008</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.sukidog.com/jpierre/strings/">Superstrings!</a> – Online-Einführung in Superstringtheorie von John M. Pierre (englisch)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://superstringtheory.com/index.html">The Official String Theory Web Site</a> – Überblick über Stringtheorie (englisch)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.pbs.org/wgbh/nova/elegant/program.html">The Elegant Universe</a> – TV-Dokumentation von <a href="Brian_Greene" title="Brian Greene">Brian Greene</a> (Video auf der Webseite verfügbar, englisch)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.pbs.org/wgbh/nova/elegant/view-glashow.html">The Elegant Universe</a> – Interview mit Sheldon Glashow zur Stringtheorie (englisch)</li>

<li><a href="Frank_Grotel%C3%BCschen" title="Frank Grotelüschen">Frank Grotelüschen</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.deutschlandfunk.de/strings-in-der-krise.740.de.html?dram:article_id=111501">Strings in der Krise – Physiker streiten um den rechten Weg zur Weltformel</a> – <a href="Deutschlandfunk" title="Deutschlandfunk">Deutschlandfunk</a> – <a href="Wissenschaft_im_Brennpunkt" class="mw-redirect" title="Wissenschaft im Brennpunkt">Wissenschaft im Brennpunkt</a> vom 17. Dezember 2006</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.mit.edu/redingtn/www/netadv/Xstring.html">Literaturlisten zum Thema</a>, <a href="Massachusetts_Institute_of_Technology" title="Massachusetts Institute of Technology">Massachusetts Institute of Technology</a></li>

<li>Polchinski: What is string theory? Vorlesungen, 1994 (englisch), <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/hep-th/9411028">hep-th/9411028</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-:0-1">↑ <a href="#cite_ref-:0_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-:0_1-1">b</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.quantamagazine.org/string-theorys-strange-second-life-20160915">K. C. Cole, The Strange second life of string theory</a>, Quanta Magazine, 15. September 2016

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.quantamagazine.org/how-quantum-theory-is-inspiring-new-math-20170330/">Robbert Dijkgraaf, Quantum questions inspire new math</a>, Quanta Magazine, 30. März 2017

</li>

<li id="cite_note-Rovelli2013-3">↑ <a href="#cite_ref-Rovelli2013_3-0">a</a> <a href="#cite_ref-Rovelli2013_3-1">b</a> C. Rovelli: <cite style="font-style:italic">A Critical Look at Strings</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Foundations of Physics</cite>. Band 43, Nr. 1, 2013, S. 8–20, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/s10701-011-9599-3">10.1007/s10701-011-9599-3</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Stringtheorie&rft.atitle=A+Critical+Look+at+Strings&rft.au=C.+Rovelli&rft.date=2013&rft.doi=10.1007%2Fs10701-011-9599-3&rft.genre=journal&rft.issue=1&rft.jtitle=Foundations+of+Physics&rft.pages=8-20&rft.volume=43" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-tHooft2013-4">↑ <a href="#cite_ref-tHooft2013_4-0">a</a> <a href="#cite_ref-tHooft2013_4-1">b</a> ’t Hooft: <cite style="font-style:italic">On the Foundations of Superstring Theory</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Foundations of Physics</cite>. Band 43, Nr. 1, 2013, S. 46–53, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/s10701-012-9682-4">10.1007/s10701-012-9682-4</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Stringtheorie&rft.atitle=On+the+Foundations+of+Superstring+Theory&rft.au=%E2%80%99t+Hooft&rft.date=2013&rft.doi=10.1007%2Fs10701-012-9682-4&rft.genre=journal&rft.issue=1&rft.jtitle=Foundations+of+Physics&rft.pages=46-53&rft.volume=43" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Alexander Belyaev, Douglas Ross: <cite style="font-style:italic">The Basics of Nuclear and Particle Physics</cite> (= <cite style="font-style:italic">Undergraduate Texts in Physics</cite>). Springer International Publishing, Cham 2021, ISBN 978-3-03080115-1, S. 357, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-030-80116-8">10.1007/978-3-030-80116-8</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://link.springer.com/10.1007/978-3-030-80116-8">springer.com</a> [abgerufen am 5. Juni 2023]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Stringtheorie&rft.au=Alexander+Belyaev%2C+Douglas+Ross&rft.btitle=The+Basics+of+Nuclear+and+Particle+Physics&rft.date=2021&rft.doi=10.1007%2F978-3-030-80116-8&rft.genre=book&rft.isbn=9783030801151&rft.place=Cham&rft.pub=Springer+International+Publishing&rft.series=Undergraduate+Texts+in+Physics" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Nach der englischen Endung von Membran, mit Anklang an das englische Wort „brain“ für Gehirn. Zuerst wurden zweidimensionale Objekte diskutiert, die Membranes, später auch höherdimensionale p-Branes, insbesondere die <a href="D-Brane" title="D-Brane">D-Branes</a>, bei denen das D für Dirichlet-Randbedingung steht.

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Vorlesungen von Nambu auf einem Symposium in Kopenhagen August 1970, veröffentlicht in Nambu, Selected Papers, 1995.

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Tetsuo Gotō: Relativistic quantum mechanics of one dimensional mechanical continuum and subsidiary condition of dual resonance model. In: Progress Theoretical Physics. Band 46, 1971, S. 1560.

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Z. B. mit dem <a href="H-Index" title="H-Index">H-Index</a> gemessen.

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Siehe z. B. Jan Louis: Die vielen Saiten der Stringtheorie. In: Physik Journal. Band 7, 2008, Nr. 6, S. 29–35.

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Siehe zum Beispiel Luis E. Ibáñez, Angel M. Uranga: String theory and particle physics. An introduction to String Phenomenology. Cambridge University Press, 2012.

</li>

<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://home.cern/about/experiments">A range of experiments at CERN investigate physics from cosmic rays to supersymmetry.</a> CERN, abgerufen am 12. August 2016.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AStringtheorie&rft.title=A+range+of+experiments+at+CERN+investigate+physics+from+cosmic+rays+to+supersymmetry&rft.description=A+range+of+experiments+at+CERN+investigate+physics+from+cosmic+rays+to+supersymmetry&rft.identifier=https%3A%2F%2Fhome.cern%2Fabout%2Fexperiments&rft.publisher=CERN">

</li>

<li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> Gary Shiu, Bret Underwood: Observing the Geometry of Warped Compactification via Cosmic Inflation. In: Physical Review Letters. Band 98, 2007, 051301, <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/hep-th/0610151">hep-th/0610151</a>.

</li>

<li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> Horatiu Nastase: String theory methods in condensed matter physics. Cambridge UP 2017

</li>

<li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> <cite style="font-style:italic">String theory: Is it science’s ultimate dead end?</cite> In: <cite style="font-style:italic"><a href="The_Guardian" title="The Guardian">The Guardian</a></cite>. 8. Oktober 2006 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.theguardian.com/science/2006/oct/08/research.highereducation">theguardian.com</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Stringtheorie&rft.atitle=String+theory%3A+Is+it+science%E2%80%99s+ultimate+dead+end%3F&rft.btitle=The+Guardian&rft.date=2006-10-08&rft.genre=book" style="display:none">

</li>

</ol></div></div><div><div class="zim-footer">

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</body></html>